En matemáticas y específicamente en la teoría de categorías, el diagrama conmutativo juega un papel sumamente importante. Este diagrama es un método que plasma todos los caminos dirigidos en el diagrama con los mismos puntos de inicio, los cuales al final conducen a un mismo resultado (en términos de composición de funciones).
Si quieres conocer más acerca del diagrama conmutativo, específicamente sobre la teoría de la categoría, sus símbolos y ejemplos de este método, entonces no dudes en seguir leyendo el artículo para aprender más a fondo sobre el tema que pertenece a los diagramas matemáticos.
Tabla de Contenidos
Que es un diagrama conmutativo
En términos generales, un diagrama conmutativo está conformado por tres partes, las cuales son los objetos, que también se conocen como vértices, también están los morfismos, mejor conocidos como flechas o bordes, y finalmente, los caminos o compuestos.
La importancia de este tipo de grafico juega un papel fundamental en la teoría de categorías, tal y como son de gran importancia las ecuaciones en álgebra.
Teoría de la categoría
Ya se ha mencionado anteriormente que los diagramas conmutativos se usan dentro de la teoría de categorías, pero ¿qué es en realidad la teoría de la categoría? Es una rama de las matemáticas, la cual, en esencia, es el estudio de la composición. Se puede decir que en principio también trata de manera abstracta con las estructuras matemáticas y sus diferentes relaciones.
Asimismo, esta teoría ha dado inicio a nuevas unificaciones y visiones fundamentales de la matemática. La teoría de la categoría fue presentada por Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane a mediados del siglo XX, en su trabajo fundacional sobre la topología algebraica.
Su importancia es sumamente grande, ya que, actualmente, esta teoría es usada en casi todas las áreas de la matemática, así como en diferentes áreas de la informática. Asimismo, este estudio también intenta axiomatizar de manera abstracta diferentes estructuras matemáticas en una sola, por medio del uso de objetos y morfismos.
Símbolos del diagrama conmutativo
Los tipos de morfismos son detonados a través del uso de las diferentes flechas, así dictan los textos de álgebra los tres tipos de símbolos el grafico conmutativo:
- Monomorfismo (homomorfismo inyectivo)
- Epimorfismo (homomorfismo sobreyectivo)
- Isomorfismo (homomorfismo biyectivo)
Ejemplo de diagrama conmutativo
Existen diferentes ejemplos de este diagrama, por ejemplo, el primero que veremos a continuación, es con flechas paralelas en dirección opuesta:
El segundo ejemplo de este diagrama, se presenta usando la demostración del lema de los cinco:
